Question

18．已知圓C的圓心與雙曲線M：y²-x²=$\frac{1}{2}$的上焦點(diǎn)重合，直線3x+4y+1=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，D（-2，0），E（2，0）為x軸上的兩點(diǎn)，若圓C內(nèi)的動點(diǎn)P使得|PD|，|PO|，|PE|成等比數(shù)列，求$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線和圓相交的弦長公式進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)|PD|，|PO|，|PE|成等比數(shù)列，建立方程關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)進(jìn)行化簡求解即可．

解答 解：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1，則c=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}$=1，
即雙曲線的焦點(diǎn)C（0，1），
圓心C到直線3x+4y+1=0的距離d=$\frac{|0+4+1|}{5}=\frac{5}{5}=1$，
則半徑r=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$．故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=5．
（2）設(shè)P（x，y），∵|PD|，|PO|，|PE|成等比數(shù)列，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=x²+y²，
整理得x²-y²=2，
故$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1），
由于P在圓C內(nèi)，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y-1）^{2}＜5}\\{{x}^{2}-{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，
得y²-y-1＜0，得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜y＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
則0≤y²＜（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
∴2（y²-1）∈[-2，1+$\sqrt{5}$），
則$\overrightarrow{PD}$•$\overrightarrow{PE}$的取值范圍是[-2，1+$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用方程思想以及轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力．