Question

8．已知$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$滿足$f（x+\frac{π}{2}）=-f（x）$，若其圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足（2c-a）cosB=bcosA，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)周期求出ω，利用圖象變換求出φ，即可求f（x）的解析式；
（2）由求出的B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到A+C的度數(shù)，用A表示出C，代入已知的等式，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的范圍求出這個(gè)角的范圍，由正弦函數(shù)的值域即可得到所求式子的取值范圍．

解答 解：（1）∵$f（x+\frac{π}{2}）=-f（x）$，
∴f（x+π）=f（x），
∴T=π，∴ω=2，
則圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后得到的函數(shù)為g（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
而g（x）為奇函數(shù)，則有$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z．
而|φ|＜$\frac{π}{2}$，
則有φ=-$\frac{π}{3}$，從而f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（2）由已知及正弦定理得：（2sinC-sinA）cosB-sinBcosA=0，
即2sinCcosB-sin（A+B）=0，
在△ABC中，由sin（A+B）=sinC
故sinC（2cosB-1）=0，
由B，C∈（0，π），則2cosB-1=0，
所以B=60°
∵△ABC是銳角三角形，C=$\frac{2π}{3}$-A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，∴0＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴f（A）=sin（2A-$\frac{π}{3}$）∈（0，1]．

點(diǎn)評(píng) 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用三角形的面積公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，掌握正弦函數(shù)的值域，是一道中檔題．