Question

（2012•黔東南州一模）某項試驗在甲、乙兩地各自獨立地試驗兩次，已知在甲、乙兩地每次試驗成功的概率依次為

2

3

、

3

4

；不成功的概率依次為

1

3

、

1

4

．
（Ⅰ）求以上的四次試驗中，至少有一次試驗成功的概率；
（Ⅱ）在以上的四次試驗中，試驗成功的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列，并計算Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設至少有一次試驗成功的概率為p₁，利用n次獨立重復試驗和間接法能夠能求出四次試驗中，至少有一次試驗成功的概率．
（Ⅱ）依題意ξ可取0，1，2，3，4，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（Ⅰ）設至少有一次試驗成功的概率為p₁，
依題意得p1=1-(1-

2

3

)2(1-

3

4

)2=

143

144

…（5分）
（Ⅱ）依題意ξ可取0，1，2，3，4，…（6分）
∵P（ξ=0）=

C

2 2

(

1

3

)2

C

2 2

(

1

4

)2=

1

144

；
P（ξ=1）=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

C

2 2

(

1

4

)2+

C

1 2

×

1

4

×

3

4

×

C

2 2

(

1

3

)2=

10

144

，
P（ξ=2）=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

C

1 2

×

1

4

×

3

4

+

C

2 2

(

2

3

)2

C

2 2

(

1

4

)2+

C

2 2

(

3

4

)2

C

2 2

(

1

3

)2=

37

144

，
P（ξ=3）=

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

C

2 2

(

3

4

)2+

C

1 2

×

1

4

×

3

4

×

C

2 2

(

2

3

)2=

60

144

，
P（ξ=4）=

C

2 2

(

2

3

)2×

C

2 2

(

3

4

)2=

36

144

，
∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
p	1 144	10 144	37 144	60 144	36 144

…（11分）
故Eξ=0×

1

144

+1×

10

144

+2×

37

144

+3×

60

144

+4×

36

144

=

17

6

．       …（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．