Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，且對任意n∈N^*，都有2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1．
（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）試問數(shù)列{a_n}中任意連續(xù)兩項(xiàng)的乘積a_k•a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，請指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，可得，（3分）
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列． （6分）
（2）由（1）可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以． （8分）
==． （10分）
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/140570.png' />，（11分）
當(dāng)k∈N^*時(shí)，一定是正整數(shù)，所以是正整數(shù)． （13分）
所以a_k•a_k+1是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，是第項(xiàng)． （14分）
分析：（1）直接利用已知條件，通過等差數(shù)列的定義，證明數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）通過（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后化簡a_k•a_k+1（k∈N^*），使得為通項(xiàng)公式的形式，即可判斷是否是{a_n}中的項(xiàng)，然后求是數(shù)列的第幾項(xiàng)；
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查等差數(shù)列的證明的方法，數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想、計(jì)算能力．