Question

17．如圖，直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，$CA=CB=\frac{1}{2}C{C_1}$，點(diǎn)D棱AA₁的中點(diǎn)，且C₁D⊥BD．
（1）求證：CA⊥CB；
（2）若CA=1，求四棱錐C₁-A₁B₁BD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出C₁D⊥CD，C₁D⊥BD，C₁D⊥BC，BC⊥CC₁，且CC₁∩C₁D=C₁，由此能證明CA⊥CB．
（2）過C₁作C₁M⊥A₁B₁于M，由此能求出四棱錐C₁-A₁B₁BD的體積．

解答 證明：（1）∵四邊形ACC₁是矩形，且D是棱AA₁的中點(diǎn)，
∴C₁D⊥CD，又C₁D⊥BD，且BD∩CD=D，
∴C₁D⊥平面BCD，
∵BC?平面BCD，∴C₁D⊥BC，
又∵BC⊥CC₁，且CC₁∩C₁D=C₁，
∴BC⊥平面ACC₁D₁，AC?平面ACC₁D₁，
∴CA⊥CB．
解：（2）過C₁作C₁M⊥A₁B₁于M，∵平面A₁B₁C₁⊥平面ABB₁A₁
∴C₁M⊥平面ABB₁A₁…（8分）
∵CA=1∴${A_1}D=1，A{A_1}=2，{A_1}{B_1}=\sqrt{2}，{C_1}M=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴四邊形A₁B₁BD的面積$S=\frac{1}{2}（{A_1}D+B{B_1}）×{A_1}{B_1}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（10分）
∴四棱錐C₁-A₁B₁BD的體積$V=\frac{1}{3}×S×{C_1}M=\frac{1}{2}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查線線垂直的證明，考百四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．