Question

已知函數(shù)f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1 -x2+ax+3 ，&x≥1

的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且在x=-1處的切線斜率為-5．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，所以f（0）=0即c=0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)斜率即可求出bc的值
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，再根據(jù)端點(diǎn)求出函數(shù)的端點(diǎn)值，比較即可得出函數(shù)的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，
∴f（0）=0即c=0，
∵函數(shù)f（x）在x=-1處的切線斜率為-5即f'（-1）=-5，
∴b=0．
（Ⅱ）x∈[-1，1）時(shí)，f（x）=-x³+x²，f'（x）=-3x²+2x，
令f'（x）=0，則x=0，

2

3

，f（-1）=2，f（0）=0，f(

2

3

)=

4

27

，f（1）=0，
∴f_max（x）=2；x∈[1，2]時(shí)，f(x)=-x2+ax+3=-(x-

a

2

)2+

a2

4

+3，
當(dāng)

a

2

≤1即a≤2時(shí)，f_max（x）=a+2，
當(dāng)1＜

a

2

＜2即2＜a＜4時(shí)，fmax(x)=

a2

4

+3，
當(dāng)

a

2

≥2即a≥4時(shí)，f_max（x）=2a-1；
當(dāng)a≤2時(shí)，
若a+2≥2即a≥0時(shí)，f_max（x）=a+2，
若a+2＜2即a＜0時(shí)，f_max（x）=2，
綜上，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值為fmax(x)=

2，a＜0 a+2 ，&2≥a≥0 a2 4 +3，2＜a＜4 2a-1 ，&a≥4

點(diǎn)評：會(huì)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在要討論a的取值范圍，最后不要忘了綜上所述．