Question

9．在邊長為2的正方形AP₁P₂P₃中，點B，C分別是邊P₁P₂，P₂P₃的中點，沿AB，BC，CA翻折成一個三棱錐P-ABC，使P₁、P₂、P₃重合于點P，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為6π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得折疊成的三棱錐P-ABC三條側棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，可得三棱錐P-ABC的外接球的直徑等于以PA、PB、PC為長、寬、高的長方體的對角線長，由此結合AP=2、BP=CP=1算出外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，結合球的表面積公式即可算出三棱錐P-ABC的外接球的表面積．

解答 解：根據(jù)題意，得三棱錐P-ABC中，AP=2，BP=CP=1
∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，
∴三棱錐P-ABC的外接球的直徑2R=$\sqrt{A{P}^{2}+B{P}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{6}$
可得三棱錐P-ABC的外接球的半徑為R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
根據(jù)球的表面積公式，得三棱錐P-ABC的外接球的表面積為
S=4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=6π
故答案為：6π．

點評 本題將正方形折疊成三棱錐，求三棱錐的外接球的表面積．著重考查了長方體的對角線長公式、三棱錐的外接球和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．