【題目】已知函數(shù).
(1)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)曲線在點處的切線為,是否存在這樣的點使得直線與曲線也相切,若存在,判斷滿足條件的點的個數(shù),若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)存在,有且只有兩個
【解析】
(1)利用導數(shù)的運算法則得出,分,,,討論單調(diào)性,分別解出與的區(qū)間即可得出單調(diào)區(qū)間.
(2)先求直線為函數(shù)的圖象上一點處的切線方程,再設直線與的圖象也相切,切點為,進而可得,再判斷方程在區(qū)間上有且只有兩個實數(shù)根.
(1)因為:,
所以:.
所以:①當時:在上為減函數(shù),在為增函數(shù);
②當時:在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù);
③當時:在上為增函數(shù);
④當時:在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
(2)設.
因為:,所以:.
所以直線的方程為:,即:①.
假設直線與的圖象也相切,切點為:.
因為,所以.
所以直線的方程也可以寫作為:.
又因為,即:.
所以直線的方程為:,即:②.
由①②有:,即:.
令,
所以.
令,得:,
所以在遞減,在遞增.
所以,
又因為當時,;當時,.
所以在有且只有兩個實數(shù)根.
所以,存在這樣的點使得直線與函數(shù)的圖象也相切,這樣的點有且只有兩個.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C :與圓相交于M,N,P,Q四點,四邊形MNPQ為正方形,△PF1F2的周長為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線l與橢圓C相交于A、B兩點若直線AD與直線BD的斜率之積為,證明:直線恒過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某省從2021年開始,高考采用取消文理分科,實行“”的模式,其中的“1”表示每位學生必須從物理、歷史中選擇一個科目且只能選擇一個科目.某校高一年級有2000名學生(其中女生900人).該校為了解高一年級學生對“1”的選課情況,采用分層抽樣的方法抽取了200名學生進行問卷調(diào)查,下表是根據(jù)調(diào)查結果得到的列聯(lián)表.
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計 |
男生 | ________ | 50 | |
女生 | 30 | ________ | |
總計 | ________ | ________ | 200 |
(1)求,的值;
(2)請你依據(jù)該列聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認為選擇科目與性別有關?說明你的理由.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:,其中.
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【題目】已知函數(shù)()的單調(diào)遞減區(qū)間為.
(I)求a的值;
(II)證明:當時,;
(III)若存在,使得當時,恒有,求實數(shù)k的取值范圍.
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【題目】自由購是通過自助結算方式購物的一種形式. 某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況,隨機抽取了100人,統(tǒng)計結果整理如下:
20以下 | 70以上 | ||||||
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)現(xiàn)隨機抽取 1 名顧客,試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率;
(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中,隨機抽取3人進一步了解情況,用表示這3人中年齡在的人數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望;
(Ⅲ)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物,試估計該超市當天至少應準備多少個環(huán)保購物袋.
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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線過原點且傾斜角為,以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線和直線的極坐標方程;
(2)若相交于不同的兩點,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的兩焦點為,,且橢圓上一點,滿足,直線與橢圓交于、兩點,與軸、軸分別交于點、,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,且,求的值;
(3)當△面積取得最大值,且點在橢圓上時,求的值.
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