如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=
1
2
AD．
（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；
（2）設(shè)E是棱PD上一點，且PE=
1
3
PD，求異面直線AE與PB所成的角．
如圖，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．
∵PA⊥平面ABCD，PB與平面ABC成60°，
∴∠PBA=60°，∴PA=ABtan60°=
3
．
取AB=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，
3
），D（0，2，0）．
（1）∵
AC
=（1，1，0），
AP
=（0，0，
3
），
CD
=（-1，1，0），
∴
AC
•
CD
=-1+1+0=0，
AP
•
CD
=0．
∴AC⊥CD，AP⊥CD，
∵AC∩AP=A，
∴CD⊥平面PAC．
又CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAC．
（2）∵
PE
=
1
3
PD
，
PD
=(0，2，-
3
)，
∴
OE
=
OP
+
1
3
PD
=（0，0，
3
）+
1
3
(0，2，-
3
)=(0，
2
3
，
2
3
3
)，
∴E（0，
2
3
，
2
3
3
），∴
AE
=（0，
2
3
，
2
3
3
）．
又
PB
=（1，0，-
3
），∴
AE
•
PB
=-2．
∴cos＜
AE
•
PB
＞=
AE
•
PB
|
AE
|•|
PB
|
=
-2
4
3
×2
=-
3
4
．
∴異面直線AE與PB所成的角為arccos
3
4
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在正四棱錐中，，則二面角的平面角的余弦值為(    )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

三棱錐A-BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，點E、F分別在AC，AD上，使平面BEF⊥平面ACD，且EF∥CD，則平面BEF與平面BCD所成的二面角的正弦值為                  （ ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則異面直線AC1與BB1所成的角為（　�。�
A．a(chǎn)rctan
2
2
3
B．a(chǎn)rccos
2
2
3
C．a(chǎn)rcsin
1
3
D．a(chǎn)rctan2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．
（Ⅰ）求異面直線EF與BC所成角的大��；
（Ⅱ）若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為
1
3
，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，形成三棱錐C-ABD，它的主視圖與俯視圖如圖所示，則異面直線AB與CD所成角為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，E是棱A1B1的中點．
（1）求異面直線A1B1與BD的距離；
（2）求直線EC1與BD所成角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，已知AA1與BB1是異面直線，且AA1=2，BB1=1，AB⊥BB1，A1B1⊥BB1，則AA1與BB1所成的角為（　�。�
A．30°B．45°C．60°D．90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線AD與BD1所成角的余弦值為（　�。�
A．
3
3
B．
6
3
C．
2
2
D．
1
3

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