Question

（2012•黃浦區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R），給出下列四個(gè)命題：
①當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，f（x）是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）一定存在零點(diǎn)；
③函數(shù)在區(qū)間（-∞，a]上單調(diào)遞減；
④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為a-a²．
那么所有真命題的序號(hào)是

①④

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)f（x）是偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)解析式中不能含有奇數(shù)次項(xiàng)；
（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，舉個(gè)反例即可；
（3）分段函數(shù)單調(diào)性要根據(jù)每段函數(shù)解析式來(lái)求，舉個(gè)反例即可；
（4）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a＞0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值為a-a²．

解答：解：由于函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R），
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²，則f（x）是偶函數(shù)；
當(dāng)f（x）是偶函數(shù)時(shí)，函數(shù)解析式中不能含有奇數(shù)次項(xiàng)，則-2a=0，即a=0．
故①為真命題．
②∵△=4a²-4a=4a（a-1），當(dāng)0＜a＜1時(shí)，△＜0，函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a＞0恒成立，
此時(shí)函數(shù)f（x）不存在零點(diǎn)，∴②是假命題．
③由于函數(shù)f（x）=x²-2ax+a在區(qū)間（-∞，a]上單調(diào)遞減，
但函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R）是由函數(shù)f（x）=x²-2ax+a把X軸下方圖象沿X軸旋轉(zhuǎn)180度得到的，
則函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|（x∈R）在區(qū)間（-∞，a]上單調(diào)遞減不一定成立．
故③是假命題．
④當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=|x²-2ax+a|=x²-2ax+a＞0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值為a-a²．
故④是真命題．
故答案為①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，比較綜合的考查了二次函數(shù)和分段函數(shù)的一些性質(zhì)，我們可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論．