Question

設(shè)函數(shù)f（α）=

(1+cos2α)cos( 3 2 π-α)

2cos(π+α)

．
（1）設(shè)A是△ABC的內(nèi)角，且為鈍角，求f（A）的最小值；
（2）設(shè)A，B是銳角△ABC的內(nèi)角，且A+B=

7π

12

，f（A）=1，BC=2，求△ABC 的三個(gè)內(nèi)角的大小和AC邊的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用二倍角公式以及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)角的范圍利用正弦函數(shù)的值域求出函數(shù)的最小值．
（2）通過(guò)A，B是銳角△ABC的內(nèi)角，且A+B=

7π

12

，f（A）=1，求出三個(gè)角的大小，結(jié)合BC=2，利用正弦定理，求出AC邊的長(zhǎng)．

解答： 解：（1）∵f(α)=

2cos2α•(-sinα)

-2cosα

+cos2α=sinαcosα+cos2α
=

1

2

sin2α+

1

2

cos2α+

1

2

=

2

2

sin(2α+

π

4

)+

1

2

…（3分）
∵A是△ABC的內(nèi)角，且為鈍角，
∴A∈(

π

2

，π)，∴2A+

π

4

∈(

5π

4

，

9π

4

)…（4分）
∴sin(2A+

π

4

)的最小值為-1，…（5分）
∴f(A)min=

1- 2

2

…（6分）
（2）∵f(A)=

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

=1
∴sin(2A+

π

4

)=

2

2

…（7分）
∵A是銳角△ABC的內(nèi)角∴A=

π

4

，
又∵A+B=

7

12

π
∴B=

π

3

，∴C=

5

12

π…（10分）
由BC=2及

BC

sinA

=

AC

sinB

可得

2

sin π 4

=

AC

sin π 3

解得AC=

6

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：不考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．