Question

（1）若點A（a，b）（其中a≠b）在矩陣M=

0 -1 1 0

對應變換的作用下得到的點為B（-b，a）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣；
（Ⅱ）求曲線C：x²+y²=1在矩陣N=

0 1 2 1 0

所對應變換的作用下得到的新的曲線C′的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
（Ⅰ）以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線的極坐標方程為θ=

π

4

(ρ∈R)，它與曲線

x=2+ 5 cosθ y=1+ 5 sinθ

(θ為參數(shù)）相交于兩點A和B，求|AB|；
（Ⅱ）已知極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，若直線C₁的極坐標方程為：ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲線C₂的參數(shù)方程為：

x=1+cosθ y=3+sinθ

（θ為參數(shù)），試求曲線C₂關于直線C₁對稱的曲線的直角坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）已知實數(shù)x、y、z滿足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）求出矩陣的行列式，從而可得矩陣M的逆矩陣；
（Ⅱ）設（x′，y′）在矩陣N=

0 1 2 1 0

所對應變換的作用下的點為（x，y），從而可得坐標之間的關系，代入x²+y²=1，即可得結論；
（2）（Ⅰ）求出直線和圓的直角坐標方程、圓心到直線y=x的距離，利用垂徑定理，可得結論；
（Ⅱ）求出直線C₁的直角坐標方程；曲線C₂的普通方程，從而可求曲線C₂關于直線C₁對稱的曲線的直角坐標方程；
（3）（Ⅰ）條件可轉化為m≤2（|x-7|+|x+3|），由絕對值不等式的性質可得實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）由柯西不等式可得[(

2

x)2+(

3

y)2+(

6

z)2][(

1

2

)2+(

1

3

)2+(

1

6

)2]≥x+y+z，由此可得結論．

解答：解：（1）（Ⅰ）∵矩陣M=

0 -1 1 0

，∴矩陣的行列式為

.

0 -1 1 0

.

=1≠0
∴M-1=

0 1 -1 0

；
（Ⅱ）設（x′，y′）在矩陣N=

0 1 2 1 0

所對應變換的作用下的點為（x，y），則

0 1 2 1 0

x′ y′

=

x y

，∴

x′=y y′=2x

代入x²+y²=1，可得4x²+y²=1；
（2）（Ⅰ）直線和圓的直角坐標方程分別為y=x和（x-1）²+（y-2）²=5，則圓心為C（1，2），半徑R=

5

從而C到直線y=x的距離d=

|1-2|

2

=

2

2

由垂徑定理得|AB|=2

R2-d2

=3

2

（Ⅱ）直線C₁的極坐標方程為：ρcos(θ-

π

4

)=

2

，直角坐標方程為x+y=2；曲線C₂的參數(shù)方程為：

x=1+cosθ y=3+sinθ

（θ為參數(shù)），普通方程為：（x-1）²+（y-3）²=1，圓心坐標為（1，3），半徑為1
圓心坐標為（1，3）關于x+y=2對稱點的坐標為（1，-1），
∴曲線C₂關于直線C₁對稱的曲線的直角坐標方程為（x+1）²+（y-1）²=1；
（3）（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，即m≤2（|x-7|+|x+3|）
由絕對值不等式的性質可得2（|x-7|+|x+3|）≥2|x-7-（x+3）|=20
∴實數(shù)m的取值范圍為（-∞，20]；
（Ⅱ）由柯西不等式可得[(

2

x)2+(

3

y)2+(

6

z)2][(

1

2

)2+(

1

3

)2+(

1

6

)2]≥x+y+z
∵2x²+3y²+6z²=a（a＞0），∴a≥（x+y+z）²，
∵x+y+z的最大值是1，∴a=1，
當2x=3y=6z時，x+y+z取最大值，∴a=1．

點評：本題考查選修知識，考查矩陣與變換，考查坐標系與參數(shù)方程，考查不等式選講，綜合性強．