Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對一切正整數(shù)n，點(diǎn)（S_n，n）都在函數(shù)f（x）=log₂（x+4）-2的圖象上．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)bn=an•log

1

2

1

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)點(diǎn)（S_n，n）都在函數(shù)f（x）=log₂（x+4）-2的圖象上，可得n=log₂（S_n+4）-2，即Sn=2n+2-4，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，再利用錯(cuò)位相減法，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n

解答：解：（I）由題意，∵點(diǎn)（S_n，n）都在函數(shù)f（x）=log₂（x+4）-2的圖象上
∴n=log₂（S_n+4）-2，
∴Sn=2n+2-4．…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+2-2n+1=2n+1，…（4分）
當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=23-4=4也適合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n+1，n∈N*．…（6分）
（II）∵bn=an•log

1

2

1

an

=an•log2an=(n+1)2n+1，…（8分）
∴Tn=2•22+3•23+4•24+…+n•2n+(n+1)2n+1，①
2Tn=2•23+3•24+4•25+…+n•2n+1+(n+1)•2n+2，②
②-①得Tn=-23-23-24-…-2n+1+(n+1)•2n+2=-23-

23(1-2n-1)

1-2

+(n+1)•2n+2
=-2³-2³（2^n-1-1）+（n+1）•2ⁿ⁺²=（n+1）•2ⁿ⁺²-2³•2^n-1=n•2ⁿ⁺²…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)列求通項(xiàng)的方法，正確運(yùn)用錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．