已知函數(shù)f(x)=
(3a-1)x+4a,x<1
logax,x≥1
滿足:對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),總有f(x1)-f(x2)>0,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
分析:由已知可得函數(shù)f(x)=
(3a-1)x+4a,x<1
logax,x≥1
是(-∞,+∞)上的減函數(shù),則分段函數(shù)在每一段上的圖象都是下降的,且在分界點(diǎn)即x=1時(shí),第一段函數(shù)的函數(shù)值應(yīng)大于等于第二段函數(shù)的函數(shù)值.由此不難判斷a的取值范圍.
解答:解:∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),總有f(x1)-f(x2)>0,
∴函數(shù)f(x)=
(3a-1)x+4a,x<1
logax,x≥1
是(-∞,+∞)上的減函數(shù),
當(dāng)x≥1時(shí),y=logax單調(diào)遞減,
∴0<a<1;
而當(dāng)x<1時(shí),f(x)=(3a-1)x+4a單調(diào)遞減,
∴a<
1
3
;
又函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減,
故當(dāng)x=1時(shí),(3a-1)x+4a≥logax,得a≥
1
7
,
綜上可知,
1
7
≤a<
1
3

故選A
點(diǎn)評(píng):分段函數(shù)分段處理,這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念,具體做法是:分段函數(shù)的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集,分段函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性要在各段上分別論證;分段函數(shù)的最大值,是各段上最大值中的最大者.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3x+5,(x≤0)
x+5,(0<x≤1)
-2x+8,(x>1)

求(1)f(
1
π
),f[f(-1)]
的值;
(2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
(1-3a)x+10ax≤7
ax-7x>7.
是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(
1
3
,1)
B、(
1
3
1
2
]
C、(
1
3
,
6
11
]
D、[
6
11
,1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|x-1|-a
1-x2
是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
2x-2-x2x+2-x

(1)求f(x)的定義域與值域;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)研究f(x)的單調(diào)性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
x-1x+a
+ln(x+1)
,其中實(shí)數(shù)a≠1.
(1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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