Question

已知函數(shù)f（x）=x³-

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2

x2+bx+c．
（1）若f（x）有極值，求b的取值范圍；
（2）當f（x）在x=1處取得極值時，①若當x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；②證明：對[-1，2]內(nèi)的任意兩個值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

7

2

．

Answer 1

分析：（1）若f（x）有極值，求導，令導數(shù)等于零，則方程有不等實數(shù)根，從而求得b的取值范圍；（2）當f（x）在x=1處取得極值時，則f′（1）=0，可求得b的值，①若當x∈[-1，2]時，f（x）＜c²恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值小于c²即可求得c的取值范圍；②對[-1，2]內(nèi)的任意兩個值x₁，x₂，都有|f(x1)-f(x2)|≤

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2

，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值的差≤

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2

即可．

解答：解：（1）∵f（x）=x3-

1

2

x2+bx+c，
∴f′（x）=3x²-x+b，
要使f（x）有極值，則f′（x）=3x²-x+b=0有兩不等實根，
從而△=1-12b＞0，解得b＜

1

12

．
（2）∵f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=3-1+b=0，∴b=-2．
①∴f（x）=x³-

1

2

x²-2x+c，∵f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）
∴當x∈（-

2

3

，1）時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當x∈（-∞，-

2

3

）和（1，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴當x=-

2

3

時，f（x）有極大值

22

27

+c，
又f（2）=2+c＞

22

27

+c，f（-1）=

1

2

+c＜

22

27

+c，
∴x∈[-1，2]時，f（x）_max=f（2）=2+c，
∴c²＞2+c
∴c＜-1或c＞2．
②由上可知，當x=1時，f（x）有極小值-

3

2

+c又f（2）=2+c＞-

3

2

+c，f（-1）=

1

2

+c
＞-

3

2

+c，∴x∈[-1，2]時，f（x）_min=-

3

2

+c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f_max（x）-f_min（x）|=|2+c-（-

3

2

+c）|=

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2

，
故結(jié)論成立．

點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，和求閉區(qū)間上的最值問題，在（2）的求解過程中，都轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法．屬難題．