Question

10．已知點M是⊙O：x²+y²=4上一動點，A（4，0），點P為線段AM的中點，
（1）求點P的軌跡C的方程
（2）過點A的直線與軌跡C有公共點，求的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AM中點P（x，y），則M（2x-4，2y），代入圓的方程得點P的軌跡C的方程；
（2）過點A的直線與軌跡C有公共點，圓心（2，0）到直線的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，即可求斜率k的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)AM中點P（x，y），則M（2x-4，2y），
代入圓的方程得（2x-4）²+4y²=4，即（x-2）²+y²=1．
（2）設(shè)過點A的直線方程為y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∵過點A的直線與軌跡C有公共點，
∴圓心（2，0）到直線的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．