Question

10．已知函數(shù)f（x）=asin（1-x）+lnx+b（a，b∈R）．且f（x）在x=1處的切線方程過坐標原點．
（I）求a，b的關(guān)系；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明$\sum_{i-1}^{n}sin\frac{1}{（k+1）^{2}}＜ln2$．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)已知條件f（x）在x=1處的切線方程過坐標原點，可求a，b的關(guān)系；
（II）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，只要f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，利用常數(shù)分離法進行求解；
（Ⅲ）這個證明題可以利用一個恒等式，sinx＜x，然后對$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$從第三項開始進行放縮，然后進行證明．

解答 （I）解：∵f（x）=asin（1-x）+lnx+b，
∴f′（x）=-acos（1-x）+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=-a+1，
∵f（1）=b，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y-b=（-a+1）（x-1），
∵f（x）在x=1處的切線方程過坐標原點，
∴0-b=（-a+1）（0-1），
∴b=1-a；
（Ⅱ）∵f（x）=asin（1-x）+lnx+1-a，
∴f′（x）=acos（1-x）×（-1）+$\frac{1}{x}$，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，只要f′（x）≥0在區(qū)間（0，1）上恒成立，
∴acos（1-x）×（-1）+$\frac{1}{x}$≥0，
∴a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$，
設(shè)h（x）=xcos（1-x），0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函數(shù)，
∴h（x）＜h（1）=1，
∴a≤1；
（Ⅲ）證明：∵0＜$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$=sin$\frac{1}{{2}^{2}}$+sin$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$≤$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}$
＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4×5}$+$\frac{1}{5×6}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{97}{144}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{97}{144}$＜ln2，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln2．

點評 第一問利用導(dǎo)數(shù)可以很容易解決，第二問利用了常數(shù)分離法進行證明，第三問需要進行放縮證明，主要利用sinx＜x進行證明，此題難度比較大，計算量比較大．