Question

已知函數(shù)f（x）=

sin2x

sinx

+2sinx．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和最小正周期；
（2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+

π

12

）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由sinx≠0，即可求得f（x）的定義域，利用三角恒等變換可求得f（x）=2

2

sin（

π

4

+x），從而可求其最小正周期；
（2）由f（α）=2，α∈[0，π]，可求得α=

π

2

，于是可求得f（α+

π

12

）的值．

解答： 解：（1）∵sinx≠0解得x≠kπ（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠kπ（k∈Z）}------------------------（2分）
∵f（x）=

sin2x

sinx

+2sinx=2cosx+2sinx=2

2

sin（

π

4

+x）---（4分）
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π-----------------------------------（6分）
（2）∵f（α）=2，
∴cosα+sinα=1，
∴（cosα+sinα）²=1，即2sinαcosα=0，---------------------（8分）
∵α∈[0，π]，且sinα≠0，
∴α=

π

2

------------------------------------（10分）
∴f（α+

π

12

）=2

2

sin（

π

4

+α+

π

12

）=2

2

sin

5π

6

=

2

------------------------------------（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查正弦函數(shù)的定義域與周期，考查運算求解能力，屬于中檔題．