已知點A（2，0），B（0，2），點C（x，y）在單位圓上．
（1）若|
OA
+
.
OC
|=
7
（O為坐標原點），求
.
OB
與
.
OC
的夾角；
（2）若
.
AC
⊥
.
BC
，求點C的坐標．
考點：單位圓與周期性,平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應用
分析：（1）由已知得
x2+y2=1
(2+x)2+y2=7
，從而cos＜
OB
，
OC
＞=
OB
•
OC
|
OB
|•|
OC
|
=
2y
2
x2+y2
=y=±
3
2
，由此能求出
OB
與
OC
的夾角．
（2）
AC
=（x-2，y），
BC
=（x，y-2），由
AC
⊥
BC
得
x2+y2=1
x2+y2-2x-2y=0
，由此能求出點C的坐標．
解答：解：（1）
OA
=(2，0)，
OC
=(x，y)，
OB
=(0，2)．
且x2+y2=1，
OA
+
OC
=（2+x，y），
由|
OA
+
OC
|=
7
，得（2+x）2+y2=7，
由
x2+y2=1
(2+x)2+y2=7
，聯(lián)立解得，x=
1
2
，y=±
3
2
．（2分）
cos＜
OB
，
OC
＞=
OB
•
OC
|
OB
|•|
OC
|
=
2y
2
x2+y2
=y=±
3
2
，（4分）
所以
OB
與
OC
的夾角為30°或150°．（6分）
（2）
AC
=（x-2，y），
BC
=（x，y-2），由
AC
⊥
BC
得，
AC
•
BC
=0，
由
x2+y2=1
x2+y2-2x-2y=0
，解得
x=
1-
7
4
y=
1+
7
4
或
x=
1+
7
4
y=
1-
7
4
，（10分）
所以點C的坐標為（
1-
7
4
，
1+
7
4
）或（
1+
7
4
，
1-
7
4
）．（12分）
點評：本題考查兩向量的夾角的求法，考查點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意單位圓的性質(zhì)的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在程序框圖中一般不含有條件判斷框的結構是（　�。�
A、順序結構B、循環(huán)結構C、當型結構D、直到型結構

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為研究某校高二年級學生學業(yè)水平考試情況，對該校高二年級1000名學生進行編號，號碼為0001，0002，0003，…，1000，現(xiàn)從中抽取所有編號末位數(shù)字為9的學生的考試成績進行分析，這種抽樣方法是（　　）
A、抽簽法B、隨機數(shù)表法C、系統(tǒng)抽樣法D、分層抽樣法

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如圖，矩形OABC的陰影部分是由曲線f（x）=sinx，直線x=
2π
3
和x軸圍成，則向矩形OABC內(nèi)隨機投擲一點，落在陰影部分的概率為（　�。�
A、
1
12
B、
1
4
C、
2+
3
12
D、
2-
3
12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

-75°化為弧度制的結果為
 
；
2512
π 化為角度制的結果為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=cosx在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f（a）=-1，f（b）=1，則sin
a+b
4
=（　�。�
A、±
2
2
B、
2
2
C、±1
D、-
2
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=2sin（
x
2
-
π
3
），x∈R的最小正周期為（　�。�
A、
π
2
B、π
C、2π
D、4π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四邊形ABCD是半徑為1的圓O的外切正方形，△PQR是圓O的內(nèi)接正三角形，當△PQR繞著圓心O旋轉時，
AQ
•
OR
的取值范圍是（　�。�
A、[1-
2
，1+
2
]
B、[-1-
2
，-1+
2
]
C、[-
1
2
-
2
，-
1
2
+
2
]
D、[
1
2
-
2
，
1
2
+
2
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果關于x的不等式
ax-1
x+b
＞0的解集為（-1，3），則不等式
2ax+1
2x-b
＜0的解集是（　�。�
A、（-∞，-
3
2
）∪（
1
2
，+∞）
B、（-
3
2
，
1
2
）
C、（-∞，-
1
2
）∪（
3
2
，+∞）
D、（-
1
2
，
3
2
]

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