Question

設(shè){a_n}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，證明：

log0.  5Sn+log0. 5Sn+2

2

＞log0. 5Sn+1．

Answer 1

分析：設(shè)數(shù)列的公比為q，當(dāng)q=1時(shí)則S_n=na₁，代入S_n，S_n+2，S_n+1，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得證，當(dāng)≠1時(shí)把等比數(shù)列的求和公式Sn=

a1(1-qn)

1-q

代入S_n，S_n+2，S_n+1，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得證．

解答：證明：設(shè){a_n}的公比為q，由題設(shè)知a₁＞0，q＞0，
（1）當(dāng)q=1時(shí)，S_n=na₁，從而
S_n•S_n+2-S_n+1²=na₁（n+2）a₁-（n+1）²a₁²=-a₁²＜0．
（2）當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，從而
S_n•S_n+2-S_n+1²=

a 2 1 (1-qn)(1-qn+2)

(1-q)2

-

a 2 1 (1-qn+1)2

(1-q)2

=-a₁²qⁿ＜0．
由（1）和（2）得S_n•S_n+2＜S_n+1²．
根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得log_0.5（S_n•S_n+2）＞log_0.5S_n+1²，
即

log0.  5Sn+log0. 5Sn+2

2

＞log0. 5Sn+1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等比數(shù)列、對(duì)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)以及邏輯推理能力，