Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1) 求導(dǎo)函數(shù),對(duì)其進(jìn)行因式分解,對(duì)分成,,,幾類進(jìn)行討論,從而可確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；

(2) 對(duì)分成,,,,幾類,利用函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理,由在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),求解參數(shù)范圍.

解：（1）定義域?yàn)?/span>，，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，；，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，得或，

（i）若，則，所以在上單調(diào)遞增；

（ii）若，則，或；，

即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

（iii）若，則或；，

即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

時(shí)，，，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，令得，又知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí),

（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，，

此時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，由（1）結(jié)合的單調(diào)性，只需討論的符號(hào)，

當(dāng)時(shí)，，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，在上無(wú)零點(diǎn)；

（iii）若由（1）結(jié)合的單調(diào)性，，，此時(shí)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，.