Question

已知中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上橢圓，離心率為，且過點(diǎn)A（1，1）
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）如圖，B為橢圓右頂點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)C與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，過點(diǎn)A作兩條直線交橢圓P、Q（異于A、B），交x軸與P'，Q'，若|AP'|=|AQ'|，求證：存在實(shí)數(shù)λ，使得．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為．離心率為，=?=①
∵點(diǎn)A（1，1）在橢圓上，∴=1②
又a²=b²+c²③
解得
故所求橢圓方程為=1
（Ⅱ）由A（1，1）得C（-1，1）
則k_BC=
易知AP的斜率k必存在，設(shè)AP；y=k（x-1）+1，則AQ：y=-k（x-1）+1，
由得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
由A（1，1）得x=1是方程（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0的一個(gè)根
由韋達(dá)定理得：x_p=x_p•1=
以-k代k得x_Q=故k_PQ==
故BC∥PQ
即存在實(shí)數(shù)λ，使得．
分析：（Ⅰ）先把橢圓方程設(shè)出來，再利用離心率為，且過點(diǎn)A（1，1）以及a²=b²+c²求出對應(yīng)a，b，c的值即可．
（Ⅱ）先求出直線BC的斜率，再利用條件|AP'|=|AQ'|，知道直線AP的斜率k與AQ的斜率互為相反數(shù)，把直線AP的方程設(shè)出來，于橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，只要直線PQ的斜率與直線BC的斜率相等即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量共線問題．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線，圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．