Question

已知曲線y=x-

1

x

（x∈[1，2]）的兩個端點為A，B，過曲線上任意一點P作x軸的垂線交線段AB于點Q，若不等式|PQ|≤

1

2

k-

2

對x∈[1，2]恒成立，則實數k的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：判斷y=x-

1

x

（x∈[1，2]）的單調性，求出|PQ|的最大值，然后求解k的最小值即可．

解答： 解：函數y=x-

1

x

（x∈[1，2]）是增函數，
過曲線上任意一點P作x軸的垂線交線段AB于點Q，|PQ|≤f（2）=2-

1

2

=

3

2

．
不等式|PQ|≤

1

2

k-

2

對x∈[1，2]恒成立，
也就是k≥2|PQ|+2

2

在x∈[1，2]恒成立，
∵|PQ|的最大值為：

3

2

．
∴實數k的最小值為：3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點評：本題考查函數恒成立問題，以及函數的單調性的應用，考查分析問題解決問題的能力．