Question

某公司準(zhǔn)備年底推出一新產(chǎn)品，為將產(chǎn)品推向市場，公司決定撥出一部分資金作為廣告費用，經(jīng)預(yù)算，平均每件產(chǎn)品的廣告費用為0.5元，在產(chǎn)品投放市場之前，銷售人員做了認(rèn)真的市場調(diào)查，為了增強市場對該產(chǎn)品的認(rèn)知度，準(zhǔn)備在投放市場的同時進(jìn)行產(chǎn)品促銷活動，經(jīng)預(yù)算，用于促銷活動費用Q（x）與月銷售量x（萬件）之間的關(guān)系式Q(x)=

k

3x+4

．若在產(chǎn)品投放市場之前，促銷活動的費用（前期準(zhǔn)備工作）已花費6萬元．
（1）求該公司一年用于該產(chǎn)品的廣告費用與促銷費用總和f（x）與月銷售量x（萬件）之間的關(guān)系式；
（2）求當(dāng)月銷售量是多少時該公司一年用于該產(chǎn)品的廣告費用與促銷費用總和f（x）最少．

Answer 1

分析：（1）利用在產(chǎn)品投放市場之前，促銷活動的費用（前期準(zhǔn)備工作）已花費6萬元，確定促銷活動費用Q（x）的解析式，即可求得該產(chǎn)品的廣告費用與促銷費用總和f（x）與月銷售量x（萬件）之間的關(guān)系式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的方法，求得函數(shù)的單調(diào)性，可求最值．

解答：解：（1）由題意，x=0時，y=6，則k=24，∴Q(x)=

24

3x+4

∴該公司一年用于該產(chǎn)品的廣告費用與促銷費用總和f（x）=0.5x+

24

3x+4

；
（2）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=0.5-

72

(3x+4)2

，令f′（x）=0，可得x=

8

3

（負(fù)值舍去）
∵函數(shù)在（0，

8

3

）上單調(diào)遞減，在（(

8

3

，+∞)上單調(diào)遞增
∴x=

8

3

時，函數(shù)取得極小值，且為最小值
∴當(dāng)月銷售量是

8

3

萬件時該公司一年用于該產(chǎn)品的廣告費用與促銷費用總和f（x）最少．

點評：本題考查函數(shù)模型的建立，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．