Question

【題目】三角形的勃?jiǎng)诳ǖ曼c(diǎn)是以法國(guó)軍官亨利·勃?jiǎng)诳ǖ拢?/span>Henri.Brocard）命名的，他在1875年曾描述過(guò)這一事實(shí)，即：對(duì)任何一個(gè)三角形都存在唯一的角，即勃?jiǎng)诳ǖ陆�，使得圖中連接三個(gè)頂點(diǎn)的線相交于勃?jiǎng)诳ǖ曼c(diǎn)Q，如圖所示.

（1）研究發(fā)現(xiàn)：等腰直角三角形中，若是斜邊的等腰直角三角形，求線段的長(zhǎng)度；

（2）若中，，，，求的值；

（3）若中，若線段，，的長(zhǎng)度是1為首項(xiàng)，公比為q（）的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，求公比q的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意可得，，然后在中利用正弦定理可求出的長(zhǎng)；

（2）在中由正弦定理求得，再利用求出，列出等式求出的值；

（3）由等比數(shù)列求出，，在和中由正弦定理得，，由此可得出，得到，再由正弦定理得，再對(duì)此式化簡(jiǎn)得，然后在表示出的值代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果

（1）由題意可知，，，于是，

在中，由正弦定理得，

得.

（2）由題意可得，，

由已知，，，故，，

在中，有正弦定理得，

在中，

所以，解得.

（2）設(shè)的三邊a，b，c的對(duì)角分別為A，B，C.

由于線段，，的長(zhǎng)度是1為首項(xiàng)，則，

在和中由正弦定理得，

所以，于是，且

所以，所以，所以

注意到，

在和中由正弦定理得①

②

①②得，即，且有（是已知的）

展開得

又等腰三角形中，，，代入得

，令，代入平方整理得

解得或（舍去），所以.