Question

【題目】已知數(shù)列中，，又?jǐn)?shù)列滿足：.

(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)若數(shù)列的各項(xiàng)皆為正數(shù)，，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，問：是否存在整數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列?若存在,求出整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在整數(shù)且為正整數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.

【解析】

（1）利用等比數(shù)列的定義可證明是等比數(shù)列.

（2）利用（1）求出的通項(xiàng)，再根據(jù)單調(diào)增數(shù)列的定義可求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）根據(jù)是單調(diào)遞減數(shù)列，可得，總有恒成立，再根據(jù)的通項(xiàng)可得為單調(diào)減數(shù)列，從而由可得整數(shù)滿足的條件.

（1）因?yàn)?/span>，故，

整理得到，因?yàn)?/span>，故，

所以即，故是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.

（2）由（1）知是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.

所以，所以，

因?yàn)?/span>為單調(diào)遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的恒成立，

故對(duì)任意的恒成立，

整理得到對(duì)任意的恒成立，

當(dāng)時(shí)，恒成立，故，又，故.

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）因?yàn)?/span>的各項(xiàng)均為正數(shù)，故.

又，

因?yàn)?/span>是單調(diào)遞減數(shù)列，故任意，總有即恒成立，

因?yàn)?/span>，故為遞減數(shù)列，

故.

任意，恒成立等價(jià)于，又，

所以即，又為整數(shù)，故.

存在整數(shù)且為正整數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.