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已知函數,f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(1 )當a=1時,求函數f(x)的單調區(qū)間;
(2)若函數y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,問:m在什么范圍取值時,對于任意的t[1,2],函數g(x)=x3+x2[
m2
+f′(x)]
在區(qū)間(t,3)丨上總存在極值?
分析:利用導數求函數的單調區(qū)間的步驟是①求導函數f′(x);②解f′(x)>0(或<0);③得到函數的增區(qū)間(或減區(qū)間),
對于本題的(1)在求單調區(qū)間時要注意函數的定義域以及對參數a的討論情況;
(2)點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,即切線斜率為1,即f'(2)=1,可求a值,代入得g(x)的解析式,由t∈[1,2],且g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數可知:
g′(1)<0
g′(2)<0
g′(3)>0
,于是可求m的范圍.
解答:解:(Ⅰ) f′(x)=
a(1-x)
x
(x>0)
,
當a=1時,f′(x)=
1-x
x
,(x>0)

令導數大于0,可解得0<x<1,令導數小于0,可解得x<0(舍)或x>1
故函數的單調增區(qū)間為(0,1),單調減區(qū)間是(1,+∞)
(Ⅱ) f′(2)=-
a
2
=1
得a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3
g(x)=x3+(
m
2
+2)x2-2x
,
∴g'(x)=3x2+(m+4)x-2
∵g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調函數,且g′(0)=-2
g′(t)<0
g′(3)>0
,
由題意知:對于任意的t∈[1,2],g′(t)<0恒成立,
所以有:
g′(1)<0
g′(2)<0
g′(3)>0
,
-
37
3
<m<-9
點評:此題是個難題.本題考查利用函數的導數來求函數的單調區(qū)間,已知函數曲線上一點求曲線的切線方程即對函數導數的幾何意義的考查,考查求導公式的掌握情況.含參數的數學問題的處理,構造函數求解證明不等式問題.
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(1)判斷函數g(x)=x2+1(x>0)是否滿足“1和性質”,并說明理由;
(2)求所有滿足“2和性質”的一次函數;
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17、已知函數y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]的圖象如圖所示,則方程f[g(x)]=0有且僅有
6
個根;方程f[f(x)]=0有且僅有
5
個根.

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1
2
,5)、C(1,0),函數y=xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為
5
4
5
4

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③若y=f(x)為偶函數,且y=f(2+x)=-f(x),則y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱;
④若y=f(x)為奇函數,且f(x)=f(-x-2),則y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱.
其中正確命題的個數為( �。�

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