【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+2x-6。

(1)證明:函數(shù)f(x)在其定義域上是增函數(shù);

(2)證明:函數(shù)f(x)有且只有一個零點;

(3)求這個零點所在的一個區(qū)間,使這個區(qū)間的長度不超過。

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3) .

【解析】

(1)直接根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,即可證明;

(2)由零點判定定理,即可證明;

(3)由(2)知,該零點在區(qū)間(2,3)上,從而利用二分法確定區(qū)間即可.

(1)證明:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),設(shè)0<x1<x2,則lnx1<lnx2, 2x1<2x2.

∴ lnx1+2x1-6<lnx2+2x2-6. ∴f(x1)<f(x2).

∴ f(x)(0,+∞)上是增函數(shù).

(2)證明:∵ f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,

∴f(2)·f(3)<0. ∴ f(x)(2,3)上至少有一個零點,

又由(1)可f(x)(0,+∞)上是增函數(shù),因此函數(shù)至多有一個根,

從而函數(shù)f(x)(0,+∞)上有且只有一個零點.

(3)解:由(2)可知f(x)的零點,

,,

區(qū)間長度

,,∴.

,區(qū)間長度,

即為符合條件的區(qū)間.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知集合.

1)若,的概率;

(2)若,的概率.

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【題目】已知互不重合的直線,互不重合的平面,給出下列四個命題,正確命題的個數(shù)是

, ,,則

,

,,則

, ,則//

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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【題目】已知函數(shù)

(1)若函數(shù)上的奇函數(shù),求實數(shù)a的值;

(2)當(dāng)函數(shù)為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;

(3)是否存在實數(shù)(),使得 在閉區(qū)間上的最大值為2,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

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【題目】已知a,b,c分別為銳角△ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,且(a+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC (Ⅰ)求∠A的大;
(Ⅱ)若f(x)= sin cos +cos2 ,求f(B)的取值范圍.

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【題目】已知,函數(shù)上是單調(diào)遞增函數(shù),則的取值范圍是______.

【答案】

【解析】,

又函數(shù)單調(diào)遞增,

上恒成立,

上恒成立。

又當(dāng)時, ,

。

。

故實數(shù)的取值范圍是。

答案

點睛對于導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系要分清以下結(jié)論:

1)當(dāng)時,若在區(qū)間D上單調(diào)遞增);

2)若函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增),在區(qū)間D上恒成立。即解題時可將函數(shù)單調(diào)性的問題轉(zhuǎn)化為的問題,但此時不要忘記等號。

型】填空
結(jié)束】
19

【題目】某珠寶店丟了一件珍貴珠寶,以下四人中只有一人說真話,只有一人偷了珠寶.甲:我沒有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;。何覜]有偷.根據(jù)以上條件,可以判斷偷珠寶的人是__________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的左、右兩個焦點分別為,離心率,短軸長為2.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)點為橢圓上的一動點(非長軸端點),的延長線與橢圓交于點,的延長線與橢圓交于點,若面積為,求直線的方程.

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)

【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意得,再由 橢圓的方程為;(Ⅱ)①當(dāng)直線斜率不存在時,不妨取面積為 ,不符合題意. ②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線, 由 ,再求點的直線的距離 到直線的距離為面積為 所求方程為.

試題解析:

(Ⅰ)由題意得,∴,

,∴,

∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)①當(dāng)直線斜率不存在時,不妨取,

面積為 ,不符合題意.

②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線,

化簡得,

設(shè),

∵點的直線的距離

是線段的中點,∴點到直線的距離為,

面積為

,∴,∴,∴,

∴直線的方程為.

型】解答
結(jié)束】
25

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值

(Ⅱ)若,,證明 .

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【題目】如圖放置的邊長為2的正三角形ABC沿x軸滾動,記滾動過程中頂點A的橫、縱坐標(biāo)分別為,且在映射作用下的象,則下列說法中:

映射的值域是;

映射不是一個函數(shù);

映射是函數(shù),且是偶函數(shù);

映射是函數(shù),且單增區(qū)間為,

其中正確說法的序號是___________.

說明:“正三角形ABC沿x軸滾動包括沿x軸正方向和沿x軸負(fù)方向滾動.沿x軸正方向滾動指的是先以頂點B為中心順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)頂點C落在x軸上時,再以頂點C為中心順時針旋轉(zhuǎn),如此繼續(xù).類似地,正三角形ABC可以沿x軸負(fù)方向滾動.

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【題目】已知函數(shù) .若gx)存在2個零點,則a的取值范圍是

A. [–1,0) B. [0,+∞) C. [–1,+∞) D. [1,+∞)

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