Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=3，a_n-1-a_n=

1

3

na_n-1a_n，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知得

1

an

-

1

an-1

=

1

3

n，n≥2，從而

1

an

=

1

an

-

1

an-1

+

1

an-1

-

1

an-2

+…+

1

a3

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a1

+

1

a1

，由此利用累加法和等差數(shù)列通項公式求出

1

an

=

n(n+1)

6

，從而能求出a_n=

6

n(n+1)

．

解答： 解：∵a₁=3，a_n-1-a_n=

1

3

na_n-1a_n，
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

3

n，n≥2，
∴

1

an

=

1

an

-

1

an-1

+

1

an-1

-

1

an-2

+…+

1

a3

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a1

+

1

a1

=

1

3

[n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1]
=

1

3

×

n(n+1)

2

=

n(n+1)

6

，
∴a_n=

6

n(n+1)

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意累加法的合理運用．