Question

定義為有限項(xiàng)數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求；
（Ⅱ）若數(shù)列滿(mǎn)足，求證：；
（Ⅲ）設(shè)各項(xiàng)均不相等，且交換數(shù)列中任何相鄰兩項(xiàng)的位置，都會(huì)使數(shù)列的波動(dòng)強(qiáng)度增加，求證：數(shù)列一定是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列

Answer 1

（Ⅰ）解：      ………………1分
.            ………………3分
（Ⅱ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/f6/0/1yxju4.gif" style="vertical-align:middle;" />，
，
所以. ……………4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/98/4/eu3d91.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，或.
若，則
當(dāng)時(shí)，上式，
當(dāng)時(shí)，上式，
當(dāng)時(shí)，上式，
即當(dāng)時(shí)，.  ……………………6分
若，
則，
.（同前）
所以，當(dāng)時(shí)，成立.    …………………7分
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）易知對(duì)于四個(gè)數(shù)的數(shù)列，若第三項(xiàng)的值介于前兩項(xiàng)的值之間，則交換第二項(xiàng)與第三項(xiàng)的位置將使數(shù)列波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變.（將此作為引理）
下面來(lái)證明當(dāng)時(shí)，為遞減數(shù)列.
（�。┳C明.
若，則由引理知交換的位置將使波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變，與已知矛盾.
若，則，與已知矛盾.
所以，.                                      ………………………9分
（ⅱ）設(shè)，證明.
若，則由引理知交換的位置將使波動(dòng)強(qiáng)度減小或不變，與已知矛盾.
若，則，與已知矛盾.
所以，.                                             …………………11分
（ⅲ）設(shè)，證明.
若，考查數(shù)列，
則由前面推理可得，與矛盾.
所以，.                                            …………………12分
綜上，得證.
同理可證：當(dāng)時(shí)，有為遞增數(shù)列.                 ……………………13分

解析