Question

3．已知三棱錐P-ABC中，PA=4，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，PA⊥平面ABC，則此三棱錐的外接球的半徑為4．

Answer 1

分析 設(shè)△ABC外接圓半徑為r，設(shè)三棱錐P-ABC球半徑為R，由正弦定理，求出r，再由勾股定理得R．

解答 解：設(shè)△ABC外接圓半徑為r，設(shè)三棱錐P-ABC球半徑為R，
∵底面△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，
∴cos∠BAC=$\frac{12+12-36}{2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$
∴sin∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴由正弦定理，得：2r=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
解得r=2$\sqrt{3}$，
設(shè)球心到平面ABC的距離為d，則由勾股定理得R²=d²+（2$\sqrt{3}$）²=（2$\sqrt{3}$）²+（4-d）²，
∴d=2，R=4，
∴此三棱錐的外接球的半徑為4．
故答案為：4．

點評 本題考查三棱錐的外接球半徑的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意正弦定理、勾股定理的合理運用．