Question

已知函數(shù)，.
（1）如果函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）（2）

試題分析：解：（1）當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意．…1分
當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸方程為，由于在上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)， 則，解得，
綜上，的取值范圍是．             4分
（2）把方程整理為，
即為方程.                 5分
設(shè) ，原方程在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根, 即為函數(shù)在區(qū)間()內(nèi)有且只有兩個(gè)零點(diǎn).   ……6分
 7分
令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010657719398.png" style="vertical-align:middle;" />，解得或（舍）   8分
當(dāng)時(shí), , 是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí), ，是增函數(shù).……10分
在()內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn), 只需 13分
即 ∴
解得, 所以的取值范圍是() ． 14分
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是通過導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)但典型，進(jìn)而來解決方程根的問題，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。