Question

20．已知a＞0，求證：$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}-2$．

Answer 1

分析 根據(jù)分析法的證明步驟，即可證明結(jié)論．

解答 證明：要證$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}-2$，
只要證明$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$+2≥a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$．
∵a＞0，∴只要證明（$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$+2）²≥（a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$）²，
只要證明2$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$≥$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$），
只要證明${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，顯然成立，
∴$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}-2$．

點(diǎn)評 用分析法證明不等式，即證明不等式成立的充分條件成立．