Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin（x+θ）cosx（|θ|≤$\frac{π}{2}$）的最大值為$\frac{3}{4}$．
（1）求f（$\frac{5π}{12}$）的值；
（2）解不等式f（x）≥$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）展開(kāi)兩角和的正弦整理，由其最大值求得θ值，得到f（x）的解析式，進(jìn)一步求得f（$\frac{5π}{12}$）的值；
（2）直接求解三角不等式得答案．

解答 解：（1）$f（x）=cosθsinxcosx+sinθ{cos^2}x=\frac{sin2xcosθ}{2}+\frac{（cos2x+1）sinθ}{2}=\frac{sin（2x+θ）}{2}+\frac{sinθ}{2}$，
其最大值為$\frac{1}{2}+\frac{sinθ}{2}=\frac{3}{4}$．又$|θ|≤\frac{π}{2}$，得$θ=\frac{π}{6}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$．
則$f（\frac{5π}{12}）$=$\frac{1}{2}sinπ+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$；
（2）由$f（x）=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}≥\frac{1}{4}$，得sin（2x+$\frac{π}{6}$）≥0，
∴$2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤π+2kπ$，k∈Z，
解得$x∈[{-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ}]$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了三角不等式的解法，是中檔題．