【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣mx+m,m、x∈R.
(1)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為R,求m的取值范圍;
(2)若實(shí)x1 , x2數(shù)滿足x1<x2 , 且f(x1)≠f(x2),證明:方程f(x)= [f(x1)+f(x2)]至少有一個實(shí)根x0∈(x1 , x2);
(3)設(shè)F(x)=f(x)+1﹣m﹣m2 , 且|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵f(x)>0的解集為R,

∴判別式△=m2﹣4m<0,得0<m<4.


(2)解:證明:令g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)],

易知g(x)在其定義域內(nèi)連續(xù),

且g(x1)g(x2)={f(x1)﹣ [f(x1)+f(x2)]}{f(x2)﹣ [f(x1)+f(x2)]}

=﹣ [f(x1)﹣f(x2)]2<0,

則g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)上有零點(diǎn),

即方程f(x)= [f(x1)+f(x2)]至少有一個實(shí)根x0∈(x1,x2);


(3)解:F(x)=f(x)+1﹣m﹣m2=x2﹣mx+1﹣m2,

△=m2﹣4(1﹣m2)=5m2﹣4,函數(shù)的對稱軸為x=

①當(dāng)△=0時,5m2﹣4=0,即m=± ,

若m= ,則對稱軸為x= ∈[0,1],則在[0,1]上不單調(diào)遞增,不滿足條件.

若m=﹣ ,則對稱軸為x=﹣ <0,則在[0,1]上單調(diào)遞增,滿足條件.

②當(dāng)△<0時,﹣ <m< ,此時f(x)>0恒成立,若|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,

則x= ≤0,即m≤0,此時,﹣ <m≤0.

③當(dāng)△>0,m<﹣ 或m> ,對稱軸為x=

當(dāng)m<﹣ 時,對稱軸為x=﹣ <0,要使|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,

則只需要F(0)≥0即可,此時F(0)=1﹣m2≥0,得﹣1≤m1,

此時﹣1≤m<﹣

若m> ,對稱軸為x> ,則要使|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,

此時F(0)=1﹣m2>0,只需要對稱軸 ≥1,所以m≥2.

此時m≥2,

綜上﹣1≤m≤0或m≥2.


【解析】(1)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集為R,轉(zhuǎn)化為別式△=m2﹣4m<0進(jìn)行求解決即可.(2)令g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)],從而利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得g(x)=f(x)﹣ [f(x1)+f(x2)]在(x1 , x2)上有零點(diǎn),從而證明方程f(x)= [f(x1)+f(x2)]至少有一個實(shí)根x0∈(x1 , x2);(3)化簡F(x)=f(x)+1﹣m﹣m2=x2﹣mx+1﹣m2 , 從而轉(zhuǎn)化|F(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,分判別式大于或等于0以及判別式小于0兩種情況討論,然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì),掌握當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減即可以解答此題.

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