【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,動(dòng)點(diǎn)滿足,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線

1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,并說明曲線是什么圖形;

2)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,求直線的方程;

3)設(shè)是直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,設(shè),求證:過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為,曲線是以為圓心,2為半徑的圓(2)的方程為.(3)證明見解析,所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

1)利用兩點(diǎn)間的距離公式并結(jié)合條件,化簡得出曲線的方程,根據(jù)曲線方程的表示形式確定曲線的形狀;

2)根據(jù)幾何法計(jì)算出圓心到直線的距離,對直線分兩種情況討論,一是斜率不存在,一是斜率存在,結(jié)合圓心到直線的距離求出直線的斜率,于此得出直線的方程;

3)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)切線的性質(zhì)得出,從而可得出過、、三點(diǎn)的圓的方程,整理得出,然后利用

,解出方程組可得出所過定點(diǎn)的坐標(biāo).

1)由題意得,化簡可得:,

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.

曲線是以為圓心,為半徑的圓;

2)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),,不成立;

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè),即,

圓心的距離為

, ,解得,

的方程為;

3)證明:∵在直線上,則設(shè)

為曲線的圓心,由圓的切線的性質(zhì)可得,

∴經(jīng)過的三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓,

則方程為,

整理可得,

,且,

解得

則有經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為,.

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(1)求曲線的軌跡方程;

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