【題目】在以為圓心,6為半徑的圓內(nèi)有一點(diǎn),點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn),線段的垂直平分線和半徑交于點(diǎn).
(1)判斷點(diǎn)的軌跡是什么曲線,并求其方程;
(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線,過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的最大值;
(3)在圓上的任取一點(diǎn),作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為、,試判斷與是否垂直,并給出證明過程.
【答案】(1)點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓. (2)(3)垂直.見解析
【解析】
(1)根據(jù)題意知,,所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓,求出a、b、c即可寫出橢圓的方程;(2)當(dāng)直線斜率不存在時可求得,當(dāng)直線斜率存在時設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立可表示出、,代入中即可求得的最大值;(3)當(dāng)有一條切線斜率不存在時求出切線易證兩切線垂直;當(dāng)斜率存在時設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程,由直線與橢圓相切知即可求出,證明兩條切線垂直.
解:(1)由題知:, ,
∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓.
由,得,又,∴,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)當(dāng)直線斜率不存在時,直線方程為,則,,
∴.
當(dāng)斜率存在時,設(shè)為,直線方程為,
與聯(lián)立,消得,
則,
設(shè),,,,
則
.
綜上,的最大值為.
(3)垂直.證明如下:設(shè)點(diǎn),則.
①當(dāng)兩切線中有一條切線斜率不存在時,即與軸垂直時,切線方程為,
即,得,∴另一條切線方程為,即與軸平行,∴兩切線垂直.
②當(dāng)斜率存在時,,設(shè)切線方程為,
聯(lián)立,消得.
由于直線與橢圓相切,得
.
化簡得.
∵,∴,即兩條切線相互垂直.
綜上,過點(diǎn)作的兩條切線與垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】十九大提出:堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),做到精準(zhǔn)扶貧,我省某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村真正脫貧,堅持扶貧同扶智相結(jié)合,幫助貧困村種植臍橙,并利用互聯(lián)網(wǎng)電商進(jìn)行銷售,為了更好銷售,現(xiàn)從該村的臍橙樹上隨機(jī)摘下100個臍橙進(jìn)行測重,其質(zhì)量分布在區(qū)間(單位:克),統(tǒng)計質(zhì)量的數(shù)據(jù)作出其頻率分布直方圖如圖所示:
(1)按分層抽樣的方法從質(zhì)量落在,的臍橙中隨機(jī)抽取5個,再從這5個臍橙中隨機(jī)抽2個,求這2個臍橙質(zhì)量至少有一個不小于400克的概率;
(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平,以頻率代表概率,已知該村的臍橙種植地上大約還有100000個臍橙待出售,某電商提出兩種收購方案:
A.所有臍橙均以7元/千克收購;
B.低于350克的臍橙以2元/個收購,其余的以3元/個收購
請你通過計算為該村選擇收益較好的方案.
(參考數(shù)據(jù):()
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩地相距,現(xiàn)計劃在兩地間以為端點(diǎn)的線段上,選擇一點(diǎn)處建造畜牧養(yǎng)殖場,其對兩地的影響度與所選地點(diǎn)到兩地的距離有關(guān),對地和地的總影響度為對地和地的影響度之和,記點(diǎn)到地的距離為,建在處的畜牧養(yǎng)殖場對地和地的總影響度為.統(tǒng)計調(diào)查表明:畜牧養(yǎng)殖場對地的影響度與所選地點(diǎn)到地的距離成反比,比例系數(shù)為;對地的影響度與所選地點(diǎn)到地的距離成反比,比例系數(shù)為,當(dāng)畜牧養(yǎng)殖場建在線段中點(diǎn)處時,對地和地的總影響度為.
(1)將表示為的函數(shù),寫出函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)點(diǎn)到地的距離為多少時,建在此處的畜牧養(yǎng)殖場對地和地的總影響度最?并求出總影響度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和,是常數(shù)且.
(1)證明:是等差數(shù)列;
(2)證明:以為坐標(biāo)的點(diǎn)落在同一直線上,并求直線方程;
(3)設(shè),是以為圓心,為半徑的圓,求使得點(diǎn)都落在圓外時,的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率低于,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計,該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)律,去掉所有為1的項(xiàng),依次構(gòu)成2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,6…,則此數(shù)列的前50項(xiàng)和為( )
A.2025B.3052C.3053D.3049
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為,點(diǎn)M的極坐標(biāo)為,若直線l過點(diǎn)P,且傾斜角為,圓C以M為圓心,1為半徑.
(1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程.
(2)設(shè)直線l與圓C相交于AB兩點(diǎn),求.
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