Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xln（e^x+1）-

1

2

x2+3，x∈[-t，t]（t＞0），若函數(shù)f（x）的最大值是M，最小值是m，則M+m=

6

．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)在[-t，t]上單調(diào)增，故有：M=f（x）_max=f（t），m=f（x）_min=f（-t），由此可求M+m的值．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=ln（e^x+1）-

x

ex+1

=

1

ex+1

[e^xln（e^x+1）+ln（e^x+1）-lne^x]
又因?yàn)楫?dāng)x∈[-t，t]時，e^x+1＞1＞0，又因?yàn)閘n（e^x+1）-lne^x＞0，所以f'（x）＞0恒成立
故該函數(shù)在[-t，t]上單調(diào)增，故有：M=f（x）_max=f（t），m=f（x）_min=f（-t）
∴M+m=f（t）+f（-t）=tln（e^t+1）-

1

2

t²+3-tln（e^-t+1）-

1

2

t²+3=3+3=6
故答案為：6

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．