Question

9．某地要建造一個(gè)邊長為2（單位：km）的正方形市民休閑公園OABC，將其中的區(qū)域ODC開挖成一個(gè)池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），曲線OD是函數(shù)y=ax²圖象的一部分，對邊OA上一點(diǎn)M在區(qū)域OABD內(nèi)作一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）的圖象，與線段DB交于點(diǎn)N（點(diǎn)N不與點(diǎn)D重合），且線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，四邊形MABN為綠化風(fēng)景區(qū)：
（1）求證：b=-$\frac{{k}^{2}}{8}$；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，①用t表示M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)；②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S=S（t），并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)y=ax²過點(diǎn)D，求出解析式y(tǒng)=2x²；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y={2x}^{2}}\end{array}\right.$消去y，利用△=0證明結(jié)論成立；
（2）①寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（t，2t²），代入直線MN的方程，用t表示出直線方程，
利用直線方程求出M、N的坐標(biāo)；
②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S（t），
利用基本不等式即可求出S的最大值．

解答 （1）證明：函數(shù)y=ax²過點(diǎn)D（1，2），
代入計(jì)算得a=2，
∴y=2x²；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y={2x}^{2}}\end{array}\right.$，消去y得2x²-kx-b=0，
由線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，
得△=（-k）²-4×2×b=0，
解得b=-$\frac{{k}^{2}}{8}$；
（2）解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則0＜t＜1，
∴點(diǎn)P（t，2t²）；
①直線MN的方程為y=kx+b，
即y=kx-$\frac{{k}^{2}}{8}$過點(diǎn)P，
∴kt-$\frac{{k}^{2}}{8}$=2t²，
解得k=4t；
y=4tx-2t²
令y=0，解得x=$\frac{t}{2}$，∴M（$\frac{t}{2}$，0）；
令y=2，解得x=$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$，∴N（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$，2）；
②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為
S=S（t）=2×2-$\frac{1}{2}$×2×[$\frac{t}{2}$+（$\frac{t}{2}$+$\frac{1}{2t}$）]=4-（t+$\frac{1}{2t}$），其中0＜t＜1；
由t+$\frac{1}{2t}$≥2•$\sqrt{t•\frac{1}{2t}}$=$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{1}{2t}$，即t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)“=”成立，
所以S≤4-$\sqrt{2}$；即S的最大值是4-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了閱讀理解能力，是綜合性題目．