【題目】如圖,在三棱柱中,四邊形是矩形, ,平面平面.

(1)證明: ；

(2)若, ，求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】分析：(1) 先證明四邊形是平行四邊形，再證明，從而可得四邊形是菱形,進而可得；（2）以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組求出平面的法向量，結(jié)合平面的法向量為，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

詳解：(1)證明: 在三棱柱中,，

.

又.

平面.

設(shè)與相交于點,與相交于點,連接，

四邊形與均是平行四邊形，

,平面，

，，

是平面與平面所成其中一個二面角的平面角.

又平面平面,

四邊形是菱形,從而.

(2)解:由(1)及題設(shè)可知四邊形是菱形, ，

.

以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

,,，

，.

設(shè)平面的法向量，

即

令,可得.

又由(1)可知平面,

可取平面的法向量為，

。由圖可知二面角的平面角為銳角,所以它的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）

如圖，在平面直角坐標系xOy中，平行于x軸且過點A(3，2)的入射光線 l1

被直線l：y=x反射．反射光線l2交y軸于B點，圓C過點A且與l1, l2 都相切.

(1)求l2所在直線的方程和圓C的方程；

(2)設(shè)分別是直線l和圓C上的動點，求的最小值及此時點的坐標．

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【題目】某廠家舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算，當某產(chǎn)品促銷費用為x（萬元）時，銷售量t（萬件）滿足（其中，）．現(xiàn)假定產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為元/件．

（1）將該產(chǎn)品的利潤y（萬元）表示為促銷費用x（萬元）的函數(shù)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（I）若在處取得極值，求過點且與在處的切線平行的直線方程；

（II）當函數(shù)有兩個極值點，且時，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）.

（1）設(shè)與相交于兩點，求；

（2）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最大時，點P的坐標.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知a∈R，函數(shù)f（x）＝log2（a）．

（Ⅰ）當a＝1，解不等式f（x）＞1；

（Ⅱ）設(shè)a＞0，若對任意t∈（﹣1，0]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值與最小值的和不大于log26，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知且，函數(shù)，.

（1）指出的單調(diào)性（不要求證明）；

（2）若有求的值；

（3）若，求使不等式恒成立的的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結(jié)論

①AC⊥BD；

②△ACD是等邊三角形；

③AB與平面BCD成60°的角；

④AB與CD所成的角是60°.

其中正確結(jié)論的序號是________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是函數(shù)的一個極值點．

(1)求的值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

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