Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ為參數(shù)）$，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l的極坐標(biāo)方程是l，射線$OM：θ=\frac{π}{3}$與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （I）利用cos²φ+sin²φ=1，把圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ為參數(shù)）$化為（x-1）²+y²=1，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．
（II）設(shè)（ρ₁，θ₁）為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁．設(shè)（ρ₂，θ₂）為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}（sin{θ}_{2}+cos{θ}_{2}）=3\sqrt{3}}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₂．由θ₁=θ₂，可得|PQ|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（I）利用cos²φ+sin²φ=1，把圓C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ為參數(shù)）$化為（x-1）²+y²=1，
∴ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
（II）設(shè)（ρ₁，θ₁）為點(diǎn)P的極坐標(biāo)，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁=1．
設(shè)（ρ₂，θ₂）為點(diǎn)Q的極坐標(biāo)，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}（sin{θ}_{2}+cos{θ}_{2}）=3\sqrt{3}}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₂=3．
∵θ₁=θ₂，∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2．
∴|PQ|=2．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直角標(biāo)準(zhǔn)方程化為極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．