Question

（本小題滿分12分）
如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，H分別是棱A₁B₁，D₁C₁上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B₁不重合），且EH∥A₁ D₁. 過(guò)EH的平面與棱BB₁，CC₁相交，交點(diǎn)分別為F，G。

（I）           證明：AD∥平面EFGH；
（II）        設(shè)AB=2AA₁ ="2" a .在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)。記該點(diǎn)取自幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為p，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A₁B₁上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值.

Answer 1

（I）見(jiàn)解析（II）p的最小值等于7/8

本小題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概念等基礎(chǔ)知識(shí)，考察空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考察函數(shù)與方程思想、形數(shù)結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。滿分12分
解法一：
（I）                  證明：在長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥A₁ D₁
又∵EH∥A₁ D₁，∴AD∥EH.
∵AD￠平面EFGH
EH 平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
（II）               設(shè)BC=b，則長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的體積V=AB·AD·AA₁ =2a²b，
幾何體EB₁F-HC₁G的體積V₁ =（1/2EB₁ ·B₁F）·B₁C₁ =b/2·EB­₁ ·B₁ F
∵EB₁² + B₁ F²=a²
∴EB₁² + B₁ F²≤ （EB₁² + B₁ F²）/2 = a² / 2,當(dāng)且僅當(dāng)EB­₁ =B₁ F=  a時(shí)等號(hào)成立
從而V₁ ≤ a²b /4 .
故 p=1-V₁/V ≥=
解法二：
（I）                   同解法一
（II）                設(shè)BC=b，則長(zhǎng)方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的體積V=AB·AD·AA₁ =2a²b ，
幾何體EB₁F-HC₁G的體積
V₁=（1/2 EB­₁ ·B₁ F）·B₁C₁ =b/2 EB­₁ ·B₁ F
設(shè)∠B₁EF=θ（0°≤θ≤90°），則EB­₁ =" a" cosθ，B₁ F ="a" sinθ
故EB­₁ ·B₁ F = a² sinθcosθ=，當(dāng)且僅當(dāng)sin 2θ=1即θ=45°時(shí)等號(hào)成立.
從而
∴p=1- V₁/V≥=，當(dāng)且僅當(dāng)sin 2θ=1即θ=45°時(shí)等號(hào)成立.
所以，p的最小值等于7/8