已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);  ②f(x)的最小值為-
1
8

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設數(shù)列{an}的前n項積為Tn,且Tn=(
4
5
f(n),求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,若5f(an)是bn與an的等差中項,試問數(shù)列{bn}中第幾項的值最。壳蟪鲞@個最小值.
分析:(1)由已知中二次函數(shù)f(x)=ax2+bx滿足條件:①f(0)=f(1);  ②f(x)的最小值為-
1
8
結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),我們構(gòu)造關(guān)于a,b的方程,解方程求出a,b的值,即可求出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)由已知中Tn=(
4
5
f(n),根據(jù)an=
Tn
Tn-1
,我們可以求出n≥2時,數(shù)列的通項公式,判斷a1=T1=1是否符合所求的通項公式,即可得到數(shù)列{an}的通項公式;
(3)根據(jù)等差中項的定義,及5f(an)是bn與an的等差中項,我們易判斷數(shù)列{bn}的單調(diào)性,進而求出數(shù)列{bn}的最小值,及對應的項數(shù).
解答:解:(1)由題知:
a+b=0
a>0
-
b2
4a
=-
1
8
,
解得
a=
1
2
b=-
1
2

故f(x)=
1
2
x2-
1
2
x.…(4分)
(2)Tn=a1•a2•…•an=(
4
5
)
n2-n
2
,
Tn-1=a1•a2•…•an-1=(
4
5
)
(n-1)2-(n-1)
2
(n≥2)
∴an=
Tn
Tn-1
=(
4
5
)
n-1
(n≥2),
又a1=T1=1滿足上式.
所以an=(
4
5
)
n-1
.…(9分)(驗證a11分)
(3)若5f(an)是bn與a的等差中項,則2×5f(an)=bn+an,
從而10(
1
2
a
2
n
-
a
 
n
)
=bn+an,
bn=5an2-6an=5(an-
3
5
)2-
9
5

因為an=(
4
5
)
n-1
是n的減函數(shù),所以
當an
3
5
,即n≤3時,bn隨n的增大而減小,此時最小值為b3;
當an
3
5
,即n≥4時,bn隨n的增大而增大,此時最小值為b4
又|a3-
3
5
|<|a4-
3
5
|,所以b3<b4,即數(shù)列{bn}中b3最小,且b3=-
224
125
.…(16分)
點評:本題考查的知識點是函數(shù)解析式的求解及常用方法,數(shù)列的函數(shù)特性,等比數(shù)列的通項公式,其中熟練掌握數(shù)列問題的處理方法,如an=
Tn
Tn-1
,等差中項,是解答本題的關(guān)鍵.
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f(x)x-1

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(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.

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