Question

16．已知函數(shù)f（x）是在（0，+∞）上處處可導(dǎo)的函數(shù)，若xf′（x）＞f（x）在x＞0上恒成立：
（1）判斷函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，證明f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）；
（3）求證：$\frac{1}{2^2}$ln2²+$\frac{1}{3^2}$ln3²+$\frac{1}{4^2}$ln4²+…+$\frac{1}{（n+1）^2}$ln（n+1）²＞$\frac{n}{2（n+1）（n+1）}$．

Answer 1

分析 （1）由xf′（x）＞f（x）在x＞0上恒成立，得${g}^{'}（x）=\frac{x{f}^{'}（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，從而函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，得到$f（{x}_{1}）＜\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}}f（{x}_{1}+{x}_{2}）$，$f（{x}_{2}）＜\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}f（{x}_{1}+{x}_{2}）$，由此能證明f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．
（3）由$f（{x}_{1}）＜\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}f（{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}）$，…，$f（{x}_{n}）=\frac{{x}_{n}}{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}f（{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}）$，得f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…+x_n），令${x}_{n}=\frac{1}{（n+1）^{2}}$，能證明$\frac{1}{2^2}$ln2²+$\frac{1}{3^2}$ln3²+$\frac{1}{4^2}$ln4²+…+$\frac{1}{（n+1）^2}$ln（n+1）²＞$\frac{n}{2（n+1）（n+1）}$．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
xf′（x）＞f（x）在x＞0上恒成立
∴${g}^{'}（x）=\frac{x{f}^{'}（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
證明：（2）由（1）知函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x₁＞0，x₂＞0時(shí)，
$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
$\frac{f（{x}_{2}）}{{x}_{2}}＜\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴$f（{x}_{1}）＜\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}}f（{x}_{1}+{x}_{2}）$，
$f（{x}_{2}）＜\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}f（{x}_{1}+{x}_{2}）$，
∴f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．
（3）由（2）知$\frac{f（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$＜$\frac{f（{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}）}{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}$，
∴$f（{x}_{1}）＜\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}f（{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}）$，
…
$f（{x}_{n}）=\frac{{x}_{n}}{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}f（{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}）$，
上述n個(gè)式子相加，得：
f（x₁）+f（x₂）+…+f（x_n）＜f（x₁+x₂+x₃+…+x_n），
又令${x}_{n}=\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
則-（$\frac{1}{{2}^{2}}ln{2}^{2}+\frac{1}{{3}^{2}}ln{3}^{2}+\frac{1}{{4}^{2}}ln{4}^{2}$+…+$\frac{1}{（n+1）^{2}}ln（n+1）^{2}$）
＜（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}+…+\frac{1}{（n+1）^{2}}$）ln（$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{n（n+1）}$）
=（$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$）ln（1-$\frac{1}{n+1}$），
∵lnx≤x-1，
∴$\frac{1}{2^2}$ln2²+$\frac{1}{3^2}$ln3²+$\frac{1}{4^2}$ln4²+…+$\frac{1}{（n+1）^2}$ln（n+1）²＞$\frac{n}{2（n+1）（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的判斷，考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、換元法的合理運(yùn)用．