Question

已知曲線C：x²+y²-4ax+2ay-20+20a=0．
（1）證明：不論a取何實(shí)數(shù)，曲線C必過(guò)一定點(diǎn)；
（2）當(dāng)a≠2時(shí)，證明曲線C是一個(gè)圓，且圓心在一條直線上；
（3）若曲線C與x軸相切，求a的值．

Answer 1

分析：（1）分離參數(shù)a，可得（x²+y²-20）+（-4x+2y+20）a=0，則由

x2+y2-20=0 -4x+2y+20=0

，可證得結(jié)論；
（2）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓心坐標(biāo)，即可得結(jié)論；
（3）曲線C與x軸相切，可得5|a-2|=|a|，從而可求a的值．

解答：（1）證明：曲線C的方程可變形為（x²+y²-20）+（-4x+2y+20）a=0．
由

x2+y2-20=0 -4x+2y+20=0

，解得

x=4 y=-2

∴點(diǎn)（4，-2）滿足C的方程，故曲線C過(guò)定點(diǎn)（4，-2）．
（2）證明：原方程配方得（x-2a）²+（y+a）²=5（a-2）²，
∵a≠2，∴5（a-2）²＞0
∴C的方程表示圓心是（2a，-a），半徑是

5

|a-2|的圓
設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），則有

x=2a y=-a

，消去a可得y=-

1

2

x，故圓心必在直線y=-

1

2

x上．
（3）解：由題意得5|a-2|=|a|，解得a=

5± 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒過(guò)交點(diǎn)的圓系，考查直線與圓相切，解題的關(guān)鍵是化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．