【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上的奇函數(shù),當(dāng)x=1時,f(x)取得極值-2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值;
(3)證明:對任意x1、x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
【答案】(1)f(x)=x3-3x;(2)f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞);遞減區(qū)間為(-1,1).極大值為f(-1)=2;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)分析已知條件,函數(shù)為奇函數(shù),即,可得,“當(dāng)x=1時,f(x)取得極值-2”得,可解得;(2)由確定增區(qū)間,由得減區(qū)間,從而確定極值點;(3)要證題設(shè)命題,只要求出在上的最大值和最小值,證明最大值-最小值≤4即可,為此可由第(2)小題的結(jié)論很快求得.
試題解析:(1)∵f(x)是R上的奇函數(shù),
∴f(-x)=-f(x),
即-ax3-cx+d=-ax3-cx-d,∴d=-d,
∴d=0(或由f(0)=0得d=0).
∴f(x)=ax3+cx,f ′(x)=3ax2+c,
又當(dāng)x=1時,f(x)取得極值-2,
∴,即解得
∴f(x)=x3-3x.
(2)f ′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f ′(x)=0,得x=±1,
當(dāng)-1<x<1時,f ′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x<-1或x>1時,f ′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞);遞減區(qū)間為(-1,1).
因此,f(x)在x=-1處取得極大值,且極大值為f(-1)=2.
(3)由(2)知,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,且f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為M=f(-1)=2.最小值為m=f(1)=-2.∴對任意x1、x2∈(-1,1),
|f(x1)-f(x2)|<M-m=4成立.
即對任意x1、x2∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,得曲線的極坐標(biāo)方程為 .
(1)化曲線的參數(shù)方程為普通方程,化曲線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;
(2)直線(為參數(shù))過曲線與軸負半軸的交點,求與直線平行且與曲線相切的直線方程.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若是實數(shù)集上的奇函數(shù),求的值;
(2)用定義證明在實數(shù)集上單調(diào)遞增;
(3)若值域為,且,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程.
(2)是否存在實數(shù)a,對任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2有>a恒成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.
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【題目】某種產(chǎn)品的廣告費支出x(單位:百萬元)與銷售額y(單位:百萬元)之間有如下的對應(yīng)數(shù)據(jù):
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
(1)畫出散點圖;
(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程。
(3)如果廣告費支出為一千萬元,預(yù)測銷售額大約為多少百萬元?
參考公式
用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式:, .
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【題目】某班主任對全班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
積極參加班級工作 | 不太主動參加班級工作 | 合計 | |
學(xué)習(xí)積極性一般 | 6 | 19 | 25 |
合計 | 24 | 26 | 50 |
(1)如果隨機抽查這個班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(2)判斷是否有的把握認為學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系?
附: , n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此做了四次試驗,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
零件的個數(shù)x/個 | 2 | 3 | 4 | 5 |
加工的時間y/h | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并在坐標(biāo)系中畫出回歸直線;
(3)試預(yù)測加工10個零件需要多少時間.
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【題目】已知函數(shù)().
(1)判斷函數(shù)在和的單調(diào)性,并用定義證明在上的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)是定義域為的偶函數(shù),且時, ,
①當(dāng)時,寫出的表達式;
②若函數(shù)有四個零點,寫出的取值范圍(不需要說明理由).
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