Question

已知曲線C的極坐標方程為ρ=

4cosθ

sin2θ

，直線l的參數方程為

x=tcosα y=1+tsinα

（t為參數，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并說明曲線C的形狀；
（Ⅱ）若直線l經過點（1，0），求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

考點：直線的參數方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐標方程；
（2）直線l的參數方程

x=tcosα y=1+tsinα

（ t為參數，0≤α＜π）．可得l經過點（0，1）；若直線l經過點（1，0），得到α=

3π

4

，得到直線l新的參數方程為

x=tcos 3π 4 =- 2 2 t y=1+tsin 3π 4 =1+ 2 2 t

（t為參數）．代入拋物線方程可得t2+2

6

t+2=0．設A、B對應的參數分別為t₁，t₂，利用|AB|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答： 解：（1）曲線C的極坐標方程ρ=

4cosθ

sin2θ

化為ρ²sin²θ=4ρcosθ，
得到曲線C的直角坐標方程為y²=4x，
故曲線C是頂點為O（0，0），焦點為F（1，0）的拋物線；
（2）直線l的參數方程為

x=tcosα y=1+tsinα

（ t為參數，0≤α＜π）．
故l經過點（0，1）；
若直線l經過點（1，0），則α=

3π

4

，
∴直線l的參數方程為

x=tcos 3π 4 =- 2 2 t y=1+tsin 3π 4 =1+ 2 2 t

（t為參數）．
代入y²=4x，得t2+2

6

t+2=0
設A、B對應的參數分別為t₁，t₂，則t1+t2=-2

6

，t1t2=2．
|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

(-2 6 )2-4×2

=4．

點評：本題考查了極坐標方程和直角坐標方程的轉換、直線的參數方程及其應用，考查了計算能力，屬于中檔題．．