已知拋物線W:y=ax2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,1),過(guò)A作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線l1,l2
(Ⅰ)求拋物線W的方程及準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)當(dāng)直線l1與拋物線W相切時(shí),求直線l2的方程
(Ⅲ)設(shè)直線l1,l2分別交拋物線W于B,C兩點(diǎn)(均不與A重合),若以線段BC為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,求直線BC的方程.
(Ⅰ)由于A(2,1)在拋物線y=ax2上,所以1=4a,即a=
1
4

故所求拋物線的方程為y=
1
4
x2
,其準(zhǔn)線方程為y=-1.

(Ⅱ)當(dāng)直線l1與拋物線相切時(shí),由y'|x=2=1,可知直線l1的斜率為1,其傾斜角為45°,
所以直線l2的傾斜角為135°,故直線l2的斜率為-1,所以l2的方程為y=-x+3

(Ⅲ)不妨設(shè)直線AB的方程為y-1=k(x-2)(k>0),
y-1=k(x-2)
y=
1
4
x2
得x2-4kx+8k-4=0,
易知該方程有一個(gè)根為2,所以另一個(gè)根為4k-2,
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4k-2,4k2-4k+1),
同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(-4k-2,4k2+4k+1).
所以|BC|=
[(4k-2)-(-4k-2)]2+[(4k2-4k+1)-(4k2+4k+1)]2
=
(8k)2+(-8k)2
=8
2
k
,.
線段BC的中點(diǎn)為(-2,4k2+1),因?yàn)橐訠C為直徑的圓與準(zhǔn)線y=-1相切,
所以4k2+1-(-1)=4
2
k
,由于k>0,解得k=
2
2

此時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2
2
-2,3-2
2
)
,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2
2
-2,3+2
2
)
,
直線BC的斜率為
(3+2
2
)-(3-2
2
)
(-2
2
-2)-(2
2
-2)
=-1
,
所以,BC的方程為y-(3-2
2
)=-[x-(2
2
-2)]
,即x+y-1=0.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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對(duì)拋物線x2=-4y,下列描述正確的是( 。
A.開口向下,焦點(diǎn)為(0,-
1
16
B.開口向下,焦點(diǎn)為(0,-1)
C.開口向左,焦點(diǎn)為(-
1
16
,0)
D.開口向左,焦點(diǎn)為(-1,0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

設(shè)直線y=k(x+3)與拋物線y=ax2交于A(x1,y1)和B(x2,y2)兩點(diǎn),則
1
x1
+
1
x2
的值是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

一拋物線型拱橋,當(dāng)水面離橋頂2m時(shí),水面寬4m,若水面下降1m時(shí),則水面寬為( 。
A.
6
m
B.2
6
m
C.4.5mD.9m

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

(1)設(shè)雙曲線與橢圓
x2
27
+
y2
36
=1
有相同的焦點(diǎn),且與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)橢圓
x2
m2
+
y2
n2
=1
(m>0,n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同,離心率為
1
2
,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程是(  )
A.y+1=0B.x+1=0C.16y+1=0D.16x+1=0

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