【題目】已知五邊形由直角梯形與直角△構(gòu)成,如圖1所示,,,,且,將梯形沿著折起,形成如圖2所示的幾何體,且使平面平面.
(1)在線段上存在點,且,證明:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)可證明,進而得四邊形為平行四邊形,于是,再根據(jù)直線和平面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)以為軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.求出平面的一個法向量,又知平面的一個法向量為,根據(jù)空間向量夾角余弦公式可求得面角的平面角的余弦值.
試題解析:(1)過點作平行交于點,
∵,∴,
由題意知,,
∴,∴四邊形為平行四邊形,
∴,又平面,平面,
∴平面.
(2)∵,∴以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.
設(shè),則,,由,,可知,
∴,
∴,.
設(shè)是平面的一個法向量,
則
令,得.
易證平面,知平面的一個法向量為,
設(shè)二面角的平面角為,則.
易判斷二面角為鈍二面角,
∴二面角的平面角的余弦值為.
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【題目】已知△ABC的頂點C在直線3x﹣y=0上,頂點A、B的坐標分別為(4,2),(0,5).
(Ⅰ)求過點A且在x,y軸上的截距相等的直線方程;
(Ⅱ)若△ABC的面積為10,求頂點C的坐標.
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【題目】命題p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對于一切x∈R恒成立,命題q:x∈11,2], x2-a≥0,若p∨q為真,p∧q為假,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到:先將圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),再將所得到的圖像向右平移個單位長度.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式,并求其圖像的對稱軸方程;
(Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不同的解.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)證明:
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【題目】在平面直角坐標系中,過點的直線與拋物線相交于點、兩點,設(shè),.
(1)求證:為定值;
(2)是否存在平行于軸的定直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值?如果存在,求出該直線方程和弦長,如果不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若是函數(shù)的極值點,求實數(shù)的值;
(2)若對任意的(為自然對數(shù)的底數(shù))都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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