【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,,,,,.
(1)求直線與平面所成角的正弦值.
(2)在棱上是否存在點,使得平面?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ );(Ⅱ).
【解析】分析:(Ⅰ )取AD中點為O,連接CO,PO,由已知可得CO⊥AD,PO⊥AD.以O(shè)為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,求得P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),進(jìn)一步求出向量的坐標(biāo),再求出平面PCD的法向量,設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ,由求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值;
(Ⅱ)假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD,設(shè),M(0,y1,z1),由可得M(0,1﹣λ,λ),,由BM∥平面PCD,可得
,由此列式求得當(dāng)時,M點即為所求.
詳解:(1)取AD的中點O,連接PO,CO.
因為PA=PD,所以PO⊥AD.
又因為PO平面PAD,平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.
因為CO平面ABCD,所以PO⊥CO.
因為AC=CD,所以CO⊥AD.
以O(shè)為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖:
則P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),
則,,
設(shè)為平面PCD的法向量,
則由,得,則.
設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ,則=;
(2) 假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD,設(shè),M(0,y1,z1),
由(Ⅱ)知,A(0,1,0),P(0,0,1),,B(1,1,0),,
則有,可得M(0,1﹣λ,λ),
∴,
∵BM∥平面PCD,為平面PCD的法向量,
∴,即,解得.
綜上,存在點M,即當(dāng)時,M點即為所求.
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【題目】已知點P為函數(shù)f(x)=lnx的圖象上任意一點,點Q為圓[x﹣(e+ )]2+y2=1任意一點,則線段PQ的長度的最小值為( )
A.
B.
C.
D.e+ ﹣1
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【題目】設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是
A. y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系
B. 回歸直線過樣本點的中心(,)
C. 若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg
D. 若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg
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【題目】函數(shù)f(x)=lnx+ +ax(a∈R),g(x)=ex+ .
(1)討論f(x)的極值點的個數(shù);
(2)若對于x>0,總有f(x)≤g(x).(i)求實數(shù)a的取值范圍;(ii)求證:對于x>0,不等式ex+x2﹣(e+1)x+ >2成立.
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【題目】下表是某地一家超市在2018年一月份某一周內(nèi)周2到周6的時間與每天獲得的利潤(單位:萬元)的有關(guān)數(shù)據(jù).
星期 | 星期2 | 星期3 | 星期4 | 星期5 | 星期6 |
利潤 | 2 | 3 | 5 | 6 | 9 |
(1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求線性回歸直線方程;
(2)估計星期日獲得的利潤為多少萬元.
參考公式:
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【題目】在鈍角△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且b=atanB. (Ⅰ)求A﹣B的值;
(Ⅱ)求cos2B﹣sinA的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) 的一段圖像如圖所示.
(1)求此函數(shù)的解析式;
(2)求此函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:函數(shù)和在公共定義域內(nèi),恒成立;
(3)若存在兩個不同的實數(shù),,滿足,求證:.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 ,(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ= sinθ+cosθ,曲線C3的極坐標(biāo)方程是θ= . (Ⅰ)求曲線C1的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)曲線C3與曲線C1交于點O,A,曲線C3與曲線C2曲線交于點O,B,求|AB|.
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